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単語帳置き場

現役中学2年生の単語帳ネットver.です。

数学〈中2覚える要点〉

文字に負の数を代入するときは、「()」をつける。

%を使った増減では、「いったん1%にあたる量を求める」と考える。Aの10%増→A×110/100

A÷B=A/B。AがBを乗り越して行くイメージをもつ。

10の位がa、1の位がbである自然数は10a+bと表す。また、10の位と1の位を入れ替えた自然数は10b+aと表せる。

m,nを偶数とすると、偶数は2の倍数(2m)、奇数は2の倍数に+1した数(2n+1)と表す。

連続する整数は差が1ずつの整数として考える。連続する3つの整数は、真ん中の数を基準として表すとよい。n-1,n,n+1だとしたら、項がひとつのnが真ん中の数。

A個の余り=+A、B個の不足=-B

 

道のり=はやさ×時間

はやさ=道のり÷時間

時間=道のり÷はやさ

 

比べる量=元にする量×割合

元にする量=比べる量÷割合

割合=比べる量÷元にする量

 

X=、Y=、=X、=Yなど、「=記号」の問題は、代入法(一方の式をもう一方の式に代入することによって1つの文字を消去して解く方法)を使う。

 

一次関数

基本式:Y=aX+b

変化の割合=Yの増加量/Xの増加量=傾き

増加量=増加後-増加前

a=傾き

b=切片

一次関数のグラフは0を通らない。

傾きが分数の場合、分母の数だけ右へ、分子の数だけ左へ進む。

『Y=-X+3・・・①について。Xの変域が、-3≦X≦2のときのYの変域は?』

①に-3と2を代入すると

3+3=6、-2+3=1。

つまり、変域は6と1なので、1≦Y≦6。

「グラフAは直線Bに平行」=「グラフAの傾きは直線Bと等しい」

 

問い:

直線Y=2X-5に平行で、店(3,-5)を通る直線の式を求めなさい

 

 

答え:

⒈求める直線の式をY=aX+bとして、傾きaの値を求める。直線Y=2X-5に平行な直線だから傾き=2。よって求める直線の式はY=2X+b・・・①。

⒉切片bの値を求める。この直線は点(3,-5)を通るからX=3、Y=-5を①に代入すると、

-5=2×3+b

-5=6+b

b=-11

よって求める直線の式はY=2X-11。

 

「X軸に対して対称な直線」=傾きと切片の符号が逆になる直線

「Y軸に対して対称な直線」=切片は変わらず傾きの符号が逆になる直線

直線の交点の座標は2つの直線の式を連立方程式として解くことで求められる。

 

問い:

2点(-7,6)、(-7,8)を通る直線の式を求めなさい。

 

答え:

Yが6でも8でも、Xは-7なので、答えはX=-7。

 

ある事柄の起こることが期待される程度を表す数を、その事柄の起こる確率という。

「全ての場合を求める」場合は、樹形図を作るとわかりやすい。

「2個のサイコロ」問題では、表を書く。
f:id:paotest:20170218160733j:image

この中で、「a×bの積が4の倍数となる」数は
f:id:paotest:20170218161432j:image

赤丸の数は15個、出る目は6×6=36通り。

つまり4の倍数が積となる確率は15/36=5/12。

「ボールを同時に取り出す」=①,②と②,①は同じ

 

nPr(パーミテーション=順列)

nから1ずつ数を減らした数をr個かける。これで、並べ方(通り)を求める。

例)10P3→10×9×8=720

12P2→12×11=132

4P4→4×3×2×1=24

異なる個の中から個を選んでそれらを並べる順列は全部でnPr通りである。

 

nCr(コンビネーション=組合せ)

nから順にr個かける/rから順に1までかける。これで、選び方を求める。

例)52C2=52×51/2×1=1326

13C2=13×12/2×1=78

PとC、違いは、「順番があるか、ないか」。ある場合はP、ない場合はC(袋からボールを同時に取り出す、など)。

どの場合が起こることも同じ程度であると考えられるとき、同様に確からしいという。

 

ことがらAの起こる確率をPとすると

Aの起こらない確率=1-P

 

素数に1は含まない。

 

X軸に時間、Y軸に距離をとるグラフでは、直線の傾きの絶対値と速さは等しい。

傾き=変化の割合=Yの増加量/Xの増加量=距離/時間=速さ

 

多角形(n角形)の内角の和は180×(n-2)で求める。また、外角の和は常に360°。三角形の1つの外角はそのとなりにない2つの内角のに等しい。

 

弧の長さをL、半径をrとすると

扇形の面積は πr2×中心角÷360°

中心角は180L/πr

円の円周は2πr

面積はπr2

球の体積は4/3πr3、表面積は4πr2

半球の体積は2/3πr3、表面積は3πr2

 

平行線の性質

①2つの直線が平行ならば同位角は等しい

②2つの直線が平行ならば錯覚は等しい

 

平行線になる条件

①同位角が等しいならばこの2つの直線は平行である

②錯覚が等しいならばこの2つの直線は平行である

 

 

 

三角形の合同条件は3つ

①3組の辺の長さがそれぞれ等しい

②2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい

③1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい

 

2つの辺が等しい三角形は二等辺三角形(定義)

2つの角が等しい三角形は二等辺三角形

二等辺三角形の2つの底角は等しい

3つの辺がすべて等しい三角形は正三角形(定義)

 

直角三角形の合同条件は2つ

①直角三角形の斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいとき

②直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しいとき

 

平行四辺形になる条件

①2組の向かい合う辺がそれぞれ平行である(定義)

②2組の向かい合う辺がそれぞれ等しい

③2組の向かい合う角がそれぞれ等しい

④対角線がそれぞれの中点で交わる

⑤1組の向かい合う辺が等しくて平行である

 

2組の向かい合う辺がそれぞれ平行な四角形は平行四辺形(定義)

平行四辺形の2組の向かい合う辺はそれぞれ等しい

平行四辺形の2組の向かい合う角はそれぞれ等しい

平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わる

 

使う言葉の意味をはっきり述べたものを定義、証明された事柄のうち基本になるものを定理という。

 

4つの角がすべて等しい四角形は長方形(定義)

長方形の対角線は長さが等しい。

4つの辺がすべて等しい四角形はひし形(定義)

ひし形の対角線は垂直に交わる。

4つの辺がすべて等しく、4つの角がすべて等しい四角形は正方形(定義)

正方形の対角線は長さが等しく、垂直に交わる。

 

(ア)△ABCで、AB=ACならば∠B=∠C

(イ)△ABCで、∠B=∠CならばAB=AC

2つの事柄が仮定と結論を入れ替えた関係にあるとき、一方を他方の逆という。

逆が正しいかどうか確かめる問題では、式の場合、仮の記号に正の数はもちろん、分数や0も代入してみる。

あることが正しくても、その逆は正しいとは限らない。仮定にあてはまるもののうち、結論が成り立たない場合の例を反例という。