数学〈中2覚える要点〉
文字に負の数を代入するときは、｢()｣をつける。
%を使った増減では、｢いったん1%にあたる量を求める｣と考える。Aの10%増→A×110/100
A÷B=A/B。AがBを乗り越して行くイメージをもつ。
10の位がa、1の位がbである自然数は10a+bと表す。また、10の位と1の位を入れ替えた自然数は10b+aと表せる。
m,nを偶数とすると、偶数は2の倍数(2m)、奇数は2の倍数に+1した数(2n+1)と表す。
連続する整数は差が1ずつの整数として考える。連続する3つの整数は、真ん中の数を基準として表すとよい。n-1,n,n+1だとしたら、項がひとつのnが真ん中の数。
A個の余り=+A、B個の不足=-B
道のり=はやさ×時間
はやさ=道のり÷時間
時間=道のり÷はやさ
比べる量=元にする量×割合
元にする量=比べる量÷割合
割合=比べる量÷元にする量
X=、Y=、=X、=Yなど、｢=記号｣の問題は、代入法(一方の式をもう一方の式に代入することによって1つの文字を消去して解く方法)を使う。
一次関数
基本式:Y=aX+b
変化の割合=Yの増加量/Xの増加量=傾き
増加量=増加後－増加前
a=傾き
b=切片
一次関数のグラフは0を通らない。
傾きが分数の場合、分母の数だけ右へ、分子の数だけ左へ進む。
『Y=-X+3･･･①について。Xの変域が、-3≦X≦2のときのYの変域は？』
①に-3と2を代入すると
3+3=6、-2+3=1。
つまり、変域は6と1なので、1≦Y≦6。
｢グラフAは直線Bに平行｣=｢グラフAの傾きは直線Bと等しい｣
問い:
直線Y=2X-5に平行で、店(3,-5)を通る直線の式を求めなさい
答え:
⒈求める直線の式をY=aX+bとして、傾きaの値を求める。直線Y=2X-5に平行な直線だから傾き=2。よって求める直線の式はY=2X+b･･･①。
⒉切片bの値を求める。この直線は点(3,-5)を通るからX=3、Y=-5を①に代入すると、
-5=2×3+b
-5=6+b
b=-11
よって求める直線の式はY=2X-11。
｢X軸に対して対称な直線｣=傾きと切片の符号が逆になる直線
｢Y軸に対して対称な直線｣=切片は変わらず傾きの符号が逆になる直線
直線の交点の座標は2つの直線の式を連立方程式として解くことで求められる。
問い:
2点(-7,6)、(-7,8)を通る直線の式を求めなさい。
答え:
Yが6でも8でも、Xは-7なので、答えはX=-7。
ある事柄の起こることが期待される程度を表す数を、その事柄の起こる確率という。
｢全ての場合を求める｣場合は、樹形図を作るとわかりやすい。
｢2個のサイコロ｣問題では、表を書く。
この中で、｢a×bの積が4の倍数となる｣数は
赤丸の数は15個、出る目は6×6=36通り。
つまり4の倍数が積となる確率は15/36=5/12。
｢ボールを同時に取り出す｣=①,②と②,①は同じ
nPr(パーミテーション=順列)
nから1ずつ数を減らした数をr個かける。これで、並べ方(通り)を求める。
例)10P3→10×9×8=720
12P2→12×11=132
4P4→4×3×2×1=24
異なる個の中から個を選んでそれらを並べる順列は全部でnPr通りである。
nCr(コンビネーション=組合せ)
nから順にr個かける/rから順に1までかける。これで、選び方を求める。
例)52C2=52×51/2×1=1326
13C2=13×12/2×1=78
PとC、違いは、｢順番があるか、ないか｣。ある場合はP、ない場合はC(袋からボールを同時に取り出す、など)。
どの場合が起こることも同じ程度であると考えられるとき、同様に確からしいという。
ことがらAの起こる確率をPとすると
Aの起こらない確率=1-P
素数に1は含まない。
X軸に時間、Y軸に距離をとるグラフでは、直線の傾きの絶対値と速さは等しい。
傾き=変化の割合=Yの増加量/Xの増加量=距離/時間=速さ
多角形(n角形)の内角の和は180×(n-2)で求める。また、外角の和は常に360°。三角形の1つの外角はそのとなりにない2つの内角のに等しい。
弧の長さをL、半径をrとすると
扇形の面積は πr2×中心角÷360°
中心角は180L/πr
円の円周は2πr
面積はπr2
球の体積は4/3πr3、表面積は4πr2
半球の体積は2/3πr3、表面積は3πr2
平行線の性質
①2つの直線が平行ならば同位角は等しい
②2つの直線が平行ならば錯覚は等しい
平行線になる条件
①同位角が等しいならばこの2つの直線は平行である
②錯覚が等しいならばこの2つの直線は平行である
三角形の合同条件は3つ
①3組の辺の長さがそれぞれ等しい
②2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
③1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい
2つの辺が等しい三角形は二等辺三角形(定義)
2つの角が等しい三角形は二等辺三角形
二等辺三角形の2つの底角は等しい
3つの辺がすべて等しい三角形は正三角形(定義)
直角三角形の合同条件は2つ
①直角三角形の斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいとき
②直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しいとき
平行四辺形になる条件
①2組の向かい合う辺がそれぞれ平行である(定義)
②2組の向かい合う辺がそれぞれ等しい
③2組の向かい合う角がそれぞれ等しい
④対角線がそれぞれの中点で交わる
⑤1組の向かい合う辺が等しくて平行である
2組の向かい合う辺がそれぞれ平行な四角形は平行四辺形(定義)
平行四辺形の2組の向かい合う辺はそれぞれ等しい
平行四辺形の2組の向かい合う角はそれぞれ等しい
平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わる
使う言葉の意味をはっきり述べたものを定義、証明された事柄のうち基本になるものを定理という。
4つの角がすべて等しい四角形は長方形(定義)
長方形の対角線は長さが等しい。
4つの辺がすべて等しい四角形はひし形(定義)
ひし形の対角線は垂直に交わる。
4つの辺がすべて等しく、4つの角がすべて等しい四角形は正方形(定義)
正方形の対角線は長さが等しく、垂直に交わる。
(ア)△ABCで、AB=ACならば∠B=∠C
(イ)△ABCで、∠B=∠CならばAB=AC
2つの事柄が仮定と結論を入れ替えた関係にあるとき、一方を他方の逆という。
逆が正しいかどうか確かめる問題では、式の場合、仮の記号に正の数はもちろん、分数や0も代入してみる。
あることが正しくても、その逆は正しいとは限らない。仮定にあてはまるもののうち、結論が成り立たない場合の例を反例という。
